Лабораторная работа №1

Лабораторная работа №1

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Цель работы: освоение навыков работы с системами счисления, используемыми в компьютере: двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной, изучение принципов представления чисел в памяти ЭВМ.

1.1.  Программа работы

1.     Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

2.     Перевести данное число в десятичную систему счисления.

3.     Сложить числа.

4.     Выполнить вычитание.

5.     Выполнить умножение.

Примечание. В заданиях 3–5 проверьте правильность вычислений переводом исходных данных и результатов в десятичную систему счисления. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале посещаемости. Задания по номерам вариантов приведены в пункте 1.4.

1 вариант:

Б) 305₍₁₀₎ =100110001₍₂₎ =461₍₈₎ =131₍₁₆₎

305	1
38	6
4	4

305	1
19	3
1	1

305	1
152	0
76	0
38	0
19	1
9	1
4	0
2	0
1	1

В) 153,25₍₁₀₎ =10011001,01₍₂₎ =231,2₍₈₎ =99,4₍₁₆₎

153	1
76	0
38	0
19	1
9	1
4	0
2	0
1	1

0,25	0
0,5	0
1	1

153	1
19	3
2	2

0,25	0
2	1

153	9
9	9

0,25	0
4

Г) 162,25₍₁₀₎ =10100010,01₍₂₎ =242,2₍₈₎ =A2,4₍₁₆₎

162	0
81	1
40	0
20	0
10	0
5	1
2	0
1	1

0,25	0
0,5	0
1	1

 

162	2
20	4
2	2

0	25
	8
2	0

                      

0	25
	16
4	0

162	2
10	10

Д) 248,46₍₁₀₎ =11111000,01110101110₍₂₎ =370.35341217270₍₈₎ =F8,75C28F5C28F ₍₁₆₎

248	0
124	0
62	0
31	1
15	1
7	1
3	1
1	1

0,46
0	92
1	84
1	68
1	36
0	72
1	44
0	88
1	76
1	52
1	04
0	08

248	0
31	7
3	3

0,46
3	68
5	44
3	52
4	16
1	28
2	24
1	92
7	36
2	88
7	04
0	32

248	8
15	15

0,46
7	36
5	76
12	16
2	56
8	96
15	36
5	76
12	16
2	56
8	96
15	36

2.

А) 1100111011₍₂₎ =1*2⁹+1*2⁸+0*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=512+256+32+16+8+2+1=827₍₁₀₎

Б)10000000111₍₂₎ =1*2¹⁰+0*2⁹+0*2⁸+0*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=1031₍₁₀₎

В)10110101,1₍₂₎ =1*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1=128+32+16+4+1,5=181,5₍₁₀₎

Г) 100000110,10101₍₂₎ =1*2⁸+0*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-1+0*2^-4+1*2^-5=256+4+0,5+0,125+1,03125=262,65625₍₁₀₎

Д) 671.24₍₈₎ = 6∙82+7∙81+1∙80+2∙8-1+4∙8-2 = 384+56+1+0.25+0.0625 = 441.3125₍₁₀₎

Е) 41A.6₍₁₆₎ = 4∙162+1∙161+10∙160+6∙16-1 = 1024+16+10+0.375 = 1050.375₍₁₀₎

3.

А)10000011₍₂₎ +1000011_{(2) =}11000110₍₂₎

10000011

  1000011

11000110

Проверка:

10000011₂ = 1∙2⁷+0∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰ = 128+0+0+0+0+0+2+1 = 131₁₀

1000011₂ = 1∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰ = 64+0+0+0+0+2+1 = 67₁₀

11000110₂ = 1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+1∙2²+1∙2¹+0∙2⁰ = 128+64+0+0+0+4+2+0 = 198₁₀

67+131=198

Б) 1010010000₍₂₎ +1101111011₍₂₎ =11000001011₍₂₎

 1010010000

 1101111011

11000001011

Проверка:

1010010000₂ = 1∙2⁹+0∙2⁸+1∙2⁷+0∙2⁶+0∙2⁵+1∙2⁴+0∙2³+0∙2²+0∙2¹+0∙2⁰ = 512+0+128+0+0+16+0+0+0+0 = 656₁₀

1101111011₂ = 1∙2⁹+1∙2⁸+0∙2⁷+1∙2⁶+1∙2⁵+1∙2⁴+1∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰ = 512+256+0+64+32+16+8+0+2+1 = 891₁₀

11000001011₂ = 1∙2¹⁰+1∙2⁹+0∙2⁸+0∙2⁷+0∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+1∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰ = 1024+512+0+0+0+0+0+8+0+2+1 = 1547₁₀

656+891=1547

В)110010,101₍₂₎ +1011010011,010₍₂₎ =1100000101,111₍₂₎

1011010011,010

         110010,101

1100000101,111

Проверка:

1011010011.010₂ = 1∙2⁹+0∙2⁸+1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+1∙2⁴+0∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰+0∙2^-1+1∙2^-2+0∙2^-3 = 512+0+128+64+0+16+0+0+2+1+0+0.25+0 = 723.25₁₀

110010.101₂ = 1∙2⁵+1∙2⁴+0∙2³+0∙2²+1∙2¹+0∙2⁰+1∙2^-1+0∙2^-2+1∙2^-3 = 32+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 50.625₁₀

1100000101.111₂ = 1∙2⁹+1∙2⁸+0∙2⁷+0∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰+1∙2^-1+1∙2^-2+1∙2^-3 = 512+256+0+0+0+0+0+4+0+1+0.5+0.25+0.125 = 773.875₁₀

723,25+50,625=773,875

Г) 356,5₍₈₎ +1757,04₍₈₎ =2335,54₍₈₎

Д)293,8₍₁₆₎ +3CC,98_{(16) =}660,18₍₁₆₎

293,80

3CC,98

660,18

4.

А) 100111001₍₂₎-110110₍₂₎ =100000011₍₂₎

100111001

       110110

100000011

Проверка:

100111001₂ = 1∙2⁸+0∙2⁷+0∙2⁶+1∙2⁵+1∙2⁴+1∙2³+0∙2²+0∙2¹+1∙2⁰ = 256+0+0+32+16+8+0+0+1 = 313₁₀

110110₂ = 1∙2⁵+1∙2⁴+0∙2³+1∙2²+1∙2¹+0∙2⁰ = 32+16+0+4+2+0 = 54₁₀

100000011₂ = 1∙2⁸+0∙2⁷+0∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰ = 256+0+0+0+0+0+0+2+1 = 259₁₀

313-54=259

Б)1111001110₍₂₎-111011010₍₂₎ =11110100₍₂₎

1111001110

  111011010

    11110100

Проверка:

1111001110₂ = 1∙2⁹+1∙2⁸+1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+1∙2³+1∙2²+1∙2¹+0∙2⁰ = 512+256+128+64+0+0+8+4+2+0 = 974₁₀

111011010₂ = 1∙2⁸+1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+1∙2⁴+1∙2³+0∙2²+1∙2¹+0∙2⁰ = 256+128+64+0+16+8+0+2+0 = 754₁₀

11110100₂ = 1∙2⁷+1∙2⁶+1∙2⁵+1∙2⁴+0∙2³+1∙2²+0∙2¹+0∙2⁰ = 128+64+32+16+0+4+0+0 = 244₁₀

974-754=244

В)1101111011,010₍₂₎-101000010,0111₍₂₎ =1000111000,1101₍₂₎

1101111011,0100

  101000010,0111

1000111000,1101

Проверка:

1101111011.010₂ = 1∙2⁹+1∙2⁸+0∙2⁷+1∙2⁶+1∙2⁵+1∙2⁴+1∙2³+0∙2²+1∙2¹+1∙2⁰+0∙2^-1+1∙2^-2+0∙2^-3 = 512+256+0+64+32+16+8+0+2+1+0+0.25+0 = 891.25₁₀

101000010.0111₂ = 1∙2⁸+0∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+0∙2²+1∙2¹+0∙2⁰+0∙2^-1+1∙2^-2+1∙2^-3+1∙2^-4 = 256+0+64+0+0+0+0+2+0+0+0.25+0.125+0.0625 = 322.4375₁₀

1000111000.1101₂ = 1∙2⁹+0∙2⁸+0∙2⁷+0∙2⁶+1∙2⁵+1∙2⁴+1∙2³+0∙2²+0∙2¹+0∙2⁰+1∙2^-1+1∙2^-2+0∙2^-3+1∙2^-4 = 512+0+0+0+32+16+8+0+0+0+0.5+0.25+0+0.0625 = 568.8125₁₀

891.25-322,4375=568,8125

Г)2025,2₍₈₎-131,2₍₈₎ =1674₍₈₎

2025,2

  131,2

1674,0

Проверка:

2025.2₈ = 2∙8³+0∙8²+2∙8¹+5∙8⁰+2∙8^-1 = 1024+0+16+5+0.25 = 1045.25₁₀

131.2₈ = 1∙8²+3∙8¹+1∙8⁰+2∙8^-1 = 64+24+1+0.25 = 89.25₁₀

1674₈ = 1∙8³+6∙8²+7∙8¹+4∙8⁰ = 512+384+56+4 = 956₁₀

1045,25-89,25=956

Д)2D8,4₍₁₆₎-А3, В ₍₁₆₎ =234,9₍₁₆₎

2D8,4

  А3,В

234,9

Проверка:

2D8.4₁₆ = 2∙16²+13∙16¹+8∙16⁰+4∙16^-1 = 512+208+8+0.25 = 728.25₁₀

A3.B₁₆ = 10∙16¹+3∙16⁰+11∙16^-1 = 160+3+0.6875 = 163.6875₁₀

234.9₁₆ = 2∙16²+3∙16¹+4∙16⁰+9∙16^-1 = 512+48+4+0.5625 = 564.5625₁₀

728.25-163.6875=564.5625

5. А)1100110₍₂₎ *1011010₍₂₎ =10001111011100₍₂₎

                1100110

                1011010

                0000000

              1100110

            000000

         1100110

       1100110

     0000000

  1100110

  10001111011100

 Проверка:

1100110₂ = 1∙2⁶+1∙2⁵+0∙2⁴+0∙2³+1∙2²+1∙2¹+0∙2⁰ = 64+32+0+0+4+2+0 = 102₁₀

1011010₂ = 1∙2⁶+0∙2⁵+1∙2⁴+1∙2³+0∙2²+1∙2¹+0∙2⁰ = 64+0+16+8+0+2+0 = 90₁₀
10001111011100₂ = 1∙2¹³+0∙2¹²+0∙2¹¹+0∙2¹⁰+1∙2⁹+1∙2⁸+1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+1∙2⁴+1∙2³+1∙2²+0∙2¹+0∙2⁰ = 8192+0+0+0+512+256+128+64+0+16+8+4+0+0 = 9180₁₀

102*90=9180

Б)2001,6₍₈₎ *125,2₍₈₎ =252625,14₍₈₎

  

             2001,6

               125,2

              40034

            120106

          40034

        20016

        252625.14

 Проверка:

2001.6₈ = 2∙8³+0∙8²+0∙8¹+1∙8⁰+6∙8^-1 = 1024+0+0+1+0.75 = 1025.75₁₀

125.2₈ = 1∙8²+2∙8¹+5∙8⁰+2∙8^-1 = 64+16+5+0.25 = 85.25₁₀

252625.14₈ = 2∙8⁵+5∙8⁴+2∙8³+6∙8²+2∙8¹+5∙8⁰+1∙8^-1+4∙8^-2 = 65536+20480+1024+384+16+5+0.125+0.0625 = 87445.1875₁₀

1025*85.25=87445.1875

В) 2C.4₍₁₆₎ *12.98₍₁₆₎ =336.C600₍₁₆₎

      2C.40

      12.98

      16200

    18E40

   5880

  2C40

  336.C600

Проверка:

2C.4₁₆ = 2∙16¹+12∙16⁰+4∙16^-1 = 32+12+0.25 = 44.25₁₀

12.98₁₆ = 1∙16¹+2∙16⁰+9∙16^-1+8∙16^-2 = 16+2+0.5625+0.03125 = 18.59375₁₀

336.C600₁₆ = 3∙16²+3∙16¹+6∙16⁰+12∙16^-1+6∙16^-2+0∙16^-3+0∙16^-4 = 768+48+6+0.75+0.0234375+0+0 = 822.7734375₁₀

44.25*18.59375=822.7734375

1.3.   Контрольные вопросы

1.     Какие системы счисления называют позиционными, а какие – непозиционными? Приведите примеры.

2.   Что называется основанием системы счисления?

3.      Почему для вычислительной техники особенно важна система счисления по основанию 2?

4.     Почему произошел переход от двоичных к шестнадцатеричным обозначениям в архитектуре ЭВМ?

5.    Какие способы перевода целых десятичных чисел в двоичные и обратно Вы знаете?

6.        Каковы правила выполнения арифметических операций над числами в двоичном представлении?

7.       Как переводить целые числа из двоичного представления в восьмеричное и шестнадцатеричное представления и обратно?

                                                              Ответы:

               1.Непозиционные системы счисления - это системы счисления, алфавит которых содержит неограниченное количество символов (цифр), причем количественный эквивалент любой цифры постоянен и   зависит только от начертания и не зависит от положения в числе.(пример: римская система счисления).

Позиционными называются такие системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе. Основное достоинство позиционных систем счисления - удобство выполнения вычислений. (пример: унарная система счисления).

               2. Количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел (или количество символов в алфавите).

                3. Потому что она проще всего реализуется электронными схемами

                4. Потому что 16 -ричная система удобная и компактная форма записи 2-чных чисел.

                5. Существует два основных метода перевода чисел из одной системы счисления в другую: табличный и расчетный.

                6.

  Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются так же, как и в десятичной в соответствии с таблицами поразрядных вычислений.

  Сложение в двоичной системе счисления производится по правилам сложения полиномов. Поэтому при сложении чисел А и В i-й разряд суммы Si и перенос Пi из данного разряда в (i+1) разряд будет определяться в соответствии со следующим выражением:

аі+ bі+ Пі-1= Sі+Пі+1

аі         bі        Пі-1    Sі         Пі+1

0         0         0          0         0

0         1         0          1         0

1         0         0          1         0

1         1         0          0         1

0         0         1          1         0

0         1         1          0         1

1         0         1          0         1

1         1         1          1         1

Таблица умножения двух двоичных чисел полностью определяется двумя правилами:

 -  умножение любого числа на ноль дает в результате ноль,

-  умножение любого числа на 1 оставляет его без изменения, т.е. результат равен исходному числу.

            7. Правило перевода целых чисел из одной позиционной системы  счисления в другую формулируется следующим образом:

 Чтобы перевести целое число из одной позиционной системы счисления в другую необходимо исходное число последовательно делить на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления, до получения частного, равного нулю. Число в новой системе счисления записывается из остатков от деления, начиная с последнего.

  При переводе из двоичной системы счисления в десятичную исходное число необходимо делить на основание новой системы, т.е. на 10102.

  Деление выполнить в двоичной системе трудно, поэтому на практике удобнее пользоваться общей записью числа в виде полинома. При переводе двоичных чисел в десятичную систему счисления обычно подсчитывают сумму степеней основания 2, при которых коэффициенты аіравны 1. Расчеты при этом ведутся в десятичной системе.

  Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23).

  Перевод целых чисел методом Горнера Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2).